不定积分的概念与性质
单变量函数的积分
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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不定积分的概念与性质
1. 不定积分的概念与性质
1.1. 原函数
1.2. 不定积分
1.3. 基本的积分公式
1.4. 积分的性质
1.5. 目录
原函数
定义 1. (原函数)
区间上，，或，则称为在区间上的一个原函数。
区间可以是开、或闭，有限、或无穷。端点处为单侧导数
，则。
所以原函数不唯一
若，则，所以。
综上所述，为的所有原函数。
不定积分
定义 2.
称在区间上的全体原函数为函数在上的不定积分，记为
为积分符号，为被积函数，为积分常数，
为积分变量，
为被积表达式，
求原函数、或不定积分的运算，叫作积分运算
积分运算是求导的逆运算
定义 3.
积分得到的一簇曲线，，叫作积分曲线。
要得到一条曲线，需要加上一 个限定条件。如
则
基本的积分公式
积分的性质
,
, ,
3.
直接计算积分
例 1.
例 2.
例 3. [例4.1.4]
1.
2.
3.
拼接
例 4. 证明上是的原函数。并求出在上的原函数
例 5.
例 6. [例4.1.7]
1. 时，
需要保证原函数连续性。
在上，
2.
，
，
，
取，取适合的，使连续
3.
，
，
在处连续，有
在处可导，
所以，
目录
1. 不定积分的概念与性质
1.1. 原函数
1.2. 不定积分
1.3. 基本的积分公式
1.4. 积分的性质
1.5. 目录
本节读完
例 7. Thanks
7.
例 8.
4.
例 9.
5.
例 10.
6.
例 11. 在上定义，有原函数，则
若为奇函数，则为偶函数
若为偶函数，则中只有唯一一个奇函数
证： 设为其中一个原函数
1. 由，可知
又，可知，即有
2. 由，则
若，则。这时，有，此时为奇函数
若，则不是奇函数